椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM•kAB=-b2a2．那么对于双曲线则有如

问题描述：

椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k_OM•k_AB=-

b2

a2

．那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k_OM•k_AB=

b2

a2

b2

a2

．

---

最佳答案：

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则有

x0＝ x1+x2 2 y0＝ y1+y2 2

．
∵

x 21

a2

−

y 21

b2

＝1，

x 22

a2

−

y 22

b2

＝1．
两式相减得

x 21 − x 22

a2

＝

y 21 − y 22

b2

，即

(x1−x2)(x1+x2)

a2

=

(y1−y2)(y1 作业帮用户 2017-10-28 问题解析 先设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则根据中点坐标公式有 x0＝ x1+x2 2 y0＝ y1+y2 2 ．将A，B的坐标代入双曲线方程得： x 21 a2 − y 21 b2 ＝1， x 22 a2 − y 22 b2 ＝1．两式相减得后结合直线的斜率公式即得kOM•kAB= b2 a2 ． 名师点评 本题考点： 类比推理． 考点点评： 本题主要考查了类比推理、圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 扫描下载二维码