在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b>0)的焦点到其渐近线的距离等于抛物线y2=2px上的点M(1,2)到抛物线焦点的距离,求抛物线及双曲线的标准方程.

在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b>0)的焦点到其渐近线的距离等于抛物线y2=2px上的点M(1,2)到抛物线焦点的距离,求抛物线及双曲线的标准方程.

问题描述:

在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-
y2
b2
=1(b>0)的焦点到其渐近线的距离等于抛物线y2=2px上的点M(1,2)到抛物线焦点的距离,求抛物线及双曲线的标准方程.

最佳答案:

∵点M(1,2)在抛物线y2=2px上,
∴4=2p,p=2…(2分)
∴M到抛物线的焦点距离为1+

p
2
=2,…(4分)
设双曲线的焦点为(
1+b2
,0),一条渐近线为y=bx…(6分)
b
1+b2
1+b2
=2,b=2…(8分)
∴抛物线方程为y2=4x,双曲线的方程为x2-
y2
4
=1.…(10分)
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