问题描述:
①设A=(α
1,α
2,α
3)是5×3实矩阵,r(A)=3.又设实向量μ
1,μ
2构成A
TX=0的基础解系,证明(α
1,α
2,α
3,μ
1,μ
2)是可逆矩阵.
②A=
| 1 | 0 | 2 −1 −4 | 1 | 2 | −2 −1 0 | −1 | 1 | 1 1 1 |
| |
,求AX=0的单位正交基础解系.
最佳答案: ①设:k1α1+k2α2+k3α3+k4μ1+k5μ2=0,(1)
在(1)式两端左乘AT,可得:
AT(k1α1+k2α2+k3α3+k4μ1+k5μ2)=0,
即:
k1ATα1+k2ATα2+k3ATα3+k4ATμ1+k5ATμ2=0.(2)
由于μ1,μ2构成ATX=0的基础解系,
因此:ATμ1=ATμ2=0,代入(2)可得:
k1ATα1+k2ATα2+k3ATα3=0,
因为:r(A)=3,
所以:k1=k2=k3=0,
代入(1)可得:k4μ1+k5μ2=0,
再次由于μ1,μ2构成ATX=0的基础解系,
所以:k4 =k5=0,
综上,k1=k2=k3=k4 =k5=0.
所以,向量组α1,α2,α3,μ1,μ2是线性无关的,
从而,(α1,α2,α3,μ1,μ2)是可逆矩阵.
②因为
A=
→
→
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