(2014•咸宁)如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD于点D.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)若点E为AB的中点,AD=325,AC=8,求AB和CE的长.

(2014•咸宁)如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD于点D.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)若点E为AB的中点,AD=325,AC=8,求AB和CE的长.

问题描述:

(2014•咸宁)如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD于点D.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若点E为
AB
的中点,AD=
32
5
,AC=8,求AB和CE的长.

最佳答案:

(1)证明:连接OC,
∵直线CD与⊙O相切于点C,
∴OC⊥CD,
∵AD⊥CD,
∴OC∥AD,
∴∠DAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠OAC=∠DAC,
即AC平分∠DAB;

(2)连接BC,OE,过点A作AF⊥EC于点F,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ADC,
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ADC∽△ACB,

AD
AC
AC
AB

32
5
8
8
AB

解得:AB=10,
∴BC=
AB2−AC2
=6,
∵点E为
AB
的中点,
∴∠AOE=90°,
∴OE=OA=
1
2
AB=5,
∴AE=
OA2+OE2
=5
2

∵∠AEF=∠B(同弧所对圆周角相等),∠AFE=∠ACB=90°,
∴△ACB∽△AFE,
AB
AE
AC
AF
BC
EF

10
5
2
8
AF
6
EF

∴AF=4
作业帮用户 2016-11-19
问题解析
(1)首先连接OC,由直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD,易证得OC∥AD,继而可得AC平分∠DAB;
(2)首先连接BC,OE,过点A作AF⊥BC于点F,可证得△ADC∽△ACB,△ACB∽△AFE,△ACF是等腰直角三角形,然后由相似三角形的对应边成比例以及勾股定理,即可求得答案.
名师点评
本题考点: 切线的性质;勾股定理;等腰直角三角形;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
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