问题描述:
对于在[a,b]上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意的x∈[a,b],均有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在[a,b]上是接近的,否则称f(x)与g(x)在[a,b]上是非接近的.现在有两个函数f(x)=logt(x-3t)与g(x)=logt(1 |
x−t |
(1)若t=
1 |
2 |
(2)若f(x)与g(x)在给定区间[t+2,t+3]上都有意义,求t的取值范围;
(3)讨论f(x)与g(x)在给定区间[t+2,t+3]上是否是接近的.
最佳答案:
(1)当t=
1 |
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1 |
2 |
3 |
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1 |
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1 |
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1 |
4 |
令h(x)=log
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1 |
4 |
当x∈[
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2 |
7 |
2 |
1 |
2 |
即|f(x)-g(x)|≥1,
f(x)与g(x)是否在给定区间上是非接近的;
(2)由题意知,t>0且t≠1,t+2-3t>0,t+2-t>0
∴0<t<1
(3)∵|f(x)-g(x)|=|logt(x2-4tx+3t2)|
假设f(x)与g(x)在给定区间[t+2,t+3]上是接近的,
则有|logt(x2-4tx+3t2)|≤1
∴-1≤logt(x2-4tx+3t2)≤1…*
令G(x)=logt(x2-4tx+3t2),
当0<t<1时,[t+2,t+3]在x=2t的右侧,
即G(x)=logt(x2-4tx+3t2)在[t+2,t+3]上为减函数,
∴G(x)max=logt(4-4t),
∴G(x)min=logt(9-6t),
所以由(*)式可得0<t<1,logt(4-4t)≤1,logt(9-6t)≥-1,
解得:0<t≤
9−
| ||
12 |
因此,当0<t≤
9−
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12 |
9−
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f(x)与g(x)在给定区间[t+2,t+3]上是非接近的.…(14分)