某校科技节期间举办“云霄飞车”比赛，小敏同学制作的部分轨道如图（1）所示，倾角θ=37°的直轨道AB，半径R1=1m的光滑圆弧轨道BC，半径R2=0.4m的光滑螺旋圆轨道CDC′，如图（2）所示，光滑

问题描述：

某校科技节期间举办“云霄飞车”比赛，小敏同学制作的部分轨道如图（1）所示，倾角θ=37°的直轨道AB，半径R₁=1m的光滑圆弧轨道BC，半径R₂=0.4m的光滑螺旋圆轨道CDC′，如图（2）所示，光滑圆轨道CE，水平直轨道FG（与圆弧轨道同心圆O₁等高），其中轨道BC、C′E与圆轨道最低点平滑连接且C、C′点不重叠，∠BO₁C=∠CO₁E=37°．整个轨道在竖直平面内，比赛中，小敏同学让质量m=0.04kg的小球从轨道上A点静止下滑，经过BCDC′E后刚好飞跃到水平轨道F点，并沿水平轨道FG运动．直轨道AB与小球的动摩擦因数μ=0.3，小球可视为质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，求：

（1）小球运动到F点时的速度大小；
（2）小球运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小；
（3）A点离水平地面的高度．

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最佳答案：

（1）小球从E运动到F的逆过程是平抛运动，设小球离开E点时竖直分速度为vy，小球运动到F点时的速度大小为vF．则有：
vy=

2gh

=

2g•R1cos37°

=

2×10×1×0.8

=4m/s
由分速度关系得：tan37°=

vy

vF

解得：vF=

16

3

m/s
（2）从D到F的过程，由机械能守恒定律得：

1

2

m

v

2D

+2mgR2=mgR1+

1

2

m

v

2F

在D点，对小球，由向心力公式得：mg+N=m

v 2D

R2

联立解得：N≈4.64N
由牛顿第三定律知，小球运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小为4.64N．
（3）设A点离水平地面的高度为H．从A到F的过程，由动能定理得：
 mg（H-R1）-μmgcosθ•

H-R1(1-cos37°)

sin37°

=

1

2

m

v

2F

-0
解得：H≈3.9m
答：（1）小球运动到F点时的速度大小是

16

3

m/s；
（2）小球运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小是4.64N；
（3）A点离水平地面的高度是3.9m．