如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1,以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x。(1)求x的取值

如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1,以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x。(1)求x的取值范

问题描述:

如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1,以A 为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x。

(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面积?


最佳答案:

(1)在△ABC中,∵AC=1,AB=x,BC=3-x,

解得1<x<2;
(2)①若AC为斜边,则1=x 2 +(3-x) 2 ,即x 2 -3x+4=0,无解;
②若AB为斜边,则x 2 =(3-x) 2 +1,解得x=
满足1<x<2;
③若BC为斜边,则(3-x) 2 =1+x 2 ,解得x= ,满足1<x<2,
∴x= 或x=
(3)在△ABC中,作CD⊥AB于D,设CD=h,△ABC的面积为S,则S= xh,
①如图甲所示,若点D在线段AB上,

∴(3-x) 2 -h 2 =x 2 -2x +1-h 2 ,即x =3x-4,
∴x 2 (1-h 2 )=9x 2 -24x+16,即x 2 h 2 =-8x 2 +24x-16,
∴S 2 = x 2 h 2 =-2x 2 +6x-4=-2
当x= 时(满足 ≤x<2),S 2 取最大值 ,从而S取最大值
②如图乙所示,若点D在线段MA上,则
同理可得,S 2 = =-2x 2 +6x-4=-2(x- ) 2 +
易知此时S<
综合①②得,△ABC的最大面积为


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